Máximos y mínimos

Sea $f: D \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ una función definida en un abierto $D$.

Definición
Se dice que $f$ presenta un máximo absoluto en el punto $P_0 \in D_f$, si $f(P_0) \ge f(P), \forall P \in D$. En este contexto $f(P_0)$ se denomina valor máximo absoluto de $f$.

Definición
Se dice que $f$ presenta un mínimo absoluto en el punto $P_0 \in D_f$, si $f(P_0) \le f(P), \forall P \in D$. En este contexto $f(P_0)$ se denomina valor mínimo absoluto de $f$.

Un punto $P \in D$ se llama punto extremo, si $P$ corresponde a un máximo o mínimo. Así, $f(P)$ se denomina valor extremo de $f$.

Definición
La función $f$ tiene un valor máximo relativo en el punto $P_0 \in D_f$, si existe un conjunto abierto $B \subset D$ tal que $f(P_0) \ge f(P), \forall P \in B \subset D$.

Definición
La función $f$ tiene un valor mínimo relativo en el punto $P_0 \in D_f$, si existe un conjunto abierto $B \subset D$ tal que $f(P_0) \le f(P), \forall P \in B \subset D$.

A los valores máximo y mínimos relativos de la función $f: D \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ les denominaremos extemos de la función $f$.

TEOREMA
Si la función $f: D \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ tiene un valor extremo en $P_0 \in D$ y $D_if(P_0)$ existen, entonces $$D_if(P_0)=0, \quad \forall \, i=1,2,3, \ldots , n$$

Definición
Se la función $f: D \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, definida en un conjunto abierto $D \subset \mathbb{R}^n$. Los puntos $P_0 \in D$ donde todas las derivadas parciales de primer orden de $f$ son ceros o no existen, se denominan puntos estacionarios o puntos críticos de $f$.

Determinar los puntos críticos o estacionarios de:

• $f(x,y) = x^3 + y^3 + 9x^2 – 3y^2 + 15x – 9y$
• $f(x,y) = x^2y^2 – 5x^2 – 8xy -5y^2$

Definición
Se la función $f: D \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, definida en un conjunto abierto $D$ tal que existen $\dfrac{\partial f}{\partial x_i}$ y $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$ para cada $P = (x_1,\ldots,x_n) \in D$.
La forma hessiana de la función $f$ en el punto $P \in D$, es:

$$H(f(P)) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n}\\
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}
\end{pmatrix}$$

Los determinantes obtenidos de la matriz hessiana $H(f(P))$, son:

$$
\Delta_{11} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}
\quad
\Delta_{22} = \begin{vmatrix}
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}\\
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}
\end{vmatrix}
\quad
\Delta_{33} = \begin{vmatrix}
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_3}\\
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_3}\\
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_3 \partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_3 \partial x_2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_3^2}
\end{vmatrix}
$$

$$
\Delta_{ii}= \begin{vmatrix}
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_i}\\
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_i}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}
\end{vmatrix} \quad i=1,\ldots,n
$$

Definición
Sea $f: D \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, una función definida en un conjunto abierto $D$ tal que existen $\dfrac{\partial f}{\partial x_i}$ y $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$ y son continuas $\forall P \in D$.
Si $P_0 \in D$ de modo que $D_if(P_0)=0, \: i=1\ldots,n$. Entoncdes:

1. $P_0$ corresponde a un mínimo relativo si $$\Delta_{ii} > 0, \quad \forall \,i=1,2,\ldots,n$$
2. $P_0$ corresponde a un maximo relativo si $$(-1)^i\Delta_{ii} > 0, \quad \forall \,i=1,2,\ldots,n$$

Corolario
Sea la función $f: D \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, definida en un conjunto abierto $D$ con un punto crítico $P_0=(x_0,y_0)$, donde:

$$\Delta_{11} = \frac{\partial^2 f(x_0,y_0)}{\partial x^2} \qquad\Delta_{22} = \frac{\partial^2 f(x_0,y_0)}{\partial x^2}\frac{\partial^2 f(x_0,y_0)}{\partial y^2}- \left[ \frac{\partial^2 f(x_0,y_0))}{\partial y \partial x}\right]^2$$

1. Si $\Delta_{22} > 0$ y $\Delta_{11} > 0$ entonces $f(x_0,y_0)$ es un valor mínimo relativo.
2. Si $\Delta_{22} > 0$ y $\Delta_{11} < 0$ entonces $f(x_0,y_0)$ es un valor máximo relativo.
3. Si $\Delta_{22} < 0$ entonces $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ es un punto silla.
4. Si $\Delta_{22} = 0$ es criterio falla.