La integración numérica permite aproximar el integrando de una integral definida por un polinomio de interpolación.
$$I=\int_{a}^{b}f(x)\,dx\approx\int_{a}^{b}f_{n}(x)\,dx$$
La regla del trapecio
Esta regla se deduce al aproximar una función por un polinomio de interpolación de primer orden.
$$I = \int_a^b f(x)\,dx \approx \int_a^b \left[ f(a) + \frac{f(b) – f(a)}{b-a} (x-a) \right] \,dx = (b-a) \frac{f(a) + f(b)}{2}$$
La regla del trapecio de aplicación múltiple
Para la aplicación de esta regla se divide el intervalo $[a,b]$ en $N$ partes iguales, $N \ge 1$, esto produce un tamaño de paso $h=(b-a)/N$
$$I = \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2 \sum_{i=1}^{N-1} f(x_i) + f(b) \right]$$
Donde $x_i = a + ih$
Regla de Simpson 1/3
Esta regla se deduce al aproximar el integrando por un polinomio de interpolación de segundo grado.
$$I = \int_a^b f(x)\,dx \approx \int_a^b f_2(x) \, dx = \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4f(a+h) + f(b)\right] $$
Donde los tres puntos de interpolación se establecen con ${a,a+h,b}$ donde $h=\dfrac{b-a}{2}$
La regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple
Para la aplicación de esta regla se divide el intervalo $[a,b]$ en $N$ partes iguales, $N=m(2) > 2$, esto produce un tamaño de paso $h=(b-a)/N$
$$I = \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4 \sum_{i=1,3,5,\cdots}^{N-1} f(x_i) + 2 \sum_{i=2,4,6,\cdots}^{N-2} f(x_i) + f(b) \right]$$
Donde $x_i = a + ih$
Regla de Simpson 3/8
Esta regla se deduce al aproximar el integrando por un polinomio de interpolación de tercer grado.
$$I = \int_a^b f(x)\,dx \approx \int_a^b f_3(x) \, dx = \frac{3h}{8} \left[ f(a) + 3f(a+h) + 3f(a+2h) + f(b)\right] $$
Donde los cuatro puntos de interpolación se establecen con ${a,a+h,a+2h,b}$ donde $h=\dfrac{b-a}{3}$
Regla de Boole
Esta regla se deduce al aproximar el integrando por un polinomio de interpolación de cuarto grado.
$$I = \int_a^b f(x)\,dx \approx \int_a^b f_4(x) \, dx = \frac{2h}{45} \left[ 7f(a) + 32f(a+h) + 12f(a+2h) + 32f(a+3h) + 7f(b)\right]$$
Donde los cinco puntos de interpolación se establecen con ${a,a+h,a+2h,a+3h,b}$ donde $h=\dfrac{b-a}{4}$
Integración de Romberg
Es una técnica eficiente para aproximar integral numérica de funciones, se basa en la aplicación sucesiva de la regla del trapecio y la extrapolación de Richardson.
La integral por la regla del trapecio de aplicación múltiple es: $$I = I(h) + E(h)$$
donde el tamaño de paso es $h=(b-a)/N$ y el error de truncamiento es $E(h) = -\dfrac{(b-a)}{12}h^2\bar{f}”$
Para dos estimaciones de pasos $h_1 , h_2$:
$$I(h_1) + E(h_1) = I(h_2) + E(h_2)$$
Asumiendo que $\bar{f}”$ es constante para cada tamaño de paso, la razón de los errores, es:
$$\frac{E(h_1)}{E(h_2)} \approx \frac{h_1^2}{h_2^2}$$
entonces $E(h_2) \approx \dfrac{I(h_1) – I(h_2)}{1 – \left(\dfrac{h_1}{h_2}\right)^2}$ tenemos el error de truncamiento en terminos de las estimaciones de las integrales y los pasos, finalmente como $I = I(h_2) + E(h_2)$, tenemos:
$$I \approx I(h_2) + \frac{1}{\left(\dfrac{h_1}{h_2}\right)^2 – 1} [I(h_2) – I(h_1)]$$
Esta aproximación tiene un error de orden $O(h^4)$. Se denomina la extrapolación de Richardson.
Cuando $h_2 = h_1/2$:
$$I \approx \dfrac{4 I(h_2) – I(h_1)}{3}$$
Una generalización de este proceso de refinamiento de integrales se denomina el algoritmo de integración de Romberg.
$$I_{j,k} \approx \frac{4^{k-1}I_{j+1,k-1} – I_{j,k-1}}{4^{k-1} – 1}$$
Donde $k$ es el nivel de integración. $k=1$ es el nivel original de la regla del trapecio $O(h^2)$. $k=2$ corresponde a $O(h^4)$. $k=3$ corresponde a $O(h^6)$… El índice $j$ distingue las estimaciones más $(j+1)$ y menos $(j)$ exactas.
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